九章算术卷第八 方程

作者:古本晋刘徽注
〔一〕今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?
荅曰:
上禾一秉,九斗、四分斗之一,
中禾一秉,四斗、四分斗之一,
下禾一秉,二斗、四分斗之三。方程术曰,置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗,於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次,亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者,上为法,下为实。实即下禾之实。求中禾,以法乘中行下实,而除下禾之实。余如中禾秉数而一,即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实,而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一,即上禾之实。实皆如法,各得一斗。〔二〕今有上禾七秉,损实一斗,益之下禾二秉,而实一十斗。下禾八秉,益实一斗与上禾二秉,而实一十斗。问上、下禾实一秉各几何?
荅曰:
上禾一秉实一斗、五十二分斗之一十八,下禾一秉实五十二分斗之四十一。术曰:如方程。损之曰益,益之曰损。损实一斗者,其实过一十斗也。益实一斗者,其实不满一十斗也。
〔三〕今有上禾二秉,中禾三秉,下禾四秉,实皆不满斗。上取中,中取下,下取上各一秉而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何?
荅曰:上禾一秉实二十五分斗之九,
中禾一秉实二十五分斗之七,
下禾一秉实二十五分斗之四。术曰:如方程,各置所取,以正负术入之。
正负术曰:同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。〔四〕今有上禾五秉,损实一斗一升,当下禾七秉。上禾七秉,损实二斗五升,当下禾五秉。问上、下禾实一秉各几何?
荅曰:
上禾一秉五升,
下禾一秉二升。术曰:如方程,置上禾五秉正,下禾七秉负,损实一斗一升正。次置上禾七秉正,下禾五秉负,损实二斗五升正。以正负术入之。〔五〕今有上禾六秉,损实一斗八升,当下禾一十秉。下禾十五秉,损实五升,当上禾五秉。问上、下禾实一秉各几何?荅曰:
上禾一秉实八升,
下禾一秉实三升。
术曰:如方程,置上禾六秉正,下禾一十秉负,损实一斗八升正。次置上禾五秉负,下禾一十五秉正,损实五升正。以正负术人之。〔六〕今有上禾三秉,益实六斗,当下禾十秉。下禾五秉,益实一斗,当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何?
荅曰:
上禾一秉实八斗,
下禾一秉实三斗。
术曰:如方程,置上禾三秉正,下禾一十秉负,益实六斗负。次置上禾二秉负,下禾五秉正,益实一斗负。以正负术入之。
〔七〕今有牛五、羊二,直金十两。牛二、羊五直金八两。问牛羊各直金几何?
荅曰:
牛一,直金一两、二十一分两之一十三,
羊一,直金二十一分两之二十。
术曰:如方程。〔八〕今有卖牛二、羊五,以买十三豕,有余钱一千。卖牛三、豕三,以买九羊,钱適足。卖羊六、豕八,以买五牛,钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何?
荅曰:
牛价一千二百,
羊价五百,豕价三百。
术曰:如方程,置牛二、羊五正,豕一十三负,余钱数正;次牛三正,羊九负,豕三正;次牛五负,羊六正,豕八正,不足钱负。以正负术入之。
〔九〕今有五雀、六燕,集称之衡,雀俱重,燕俱轻。一雀一燕交而处,衡適平。并燕、雀重一斤。问燕、雀一枚各重几何?
荅曰:
雀重一两、一十九分两之十三,
燕重一两、一十九分两之五。
术曰:如方程,交易质之,各重八两。
〔一0〕今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而亦钱五十。问甲、乙持钱各几何?
荅曰:
甲持三十七钱半,乙持二十五钱。术曰:如方程,损益之。〔一一〕今有二马、一牛价过一万,如半马之价。一马、二牛价不满一万,如半牛之价。问牛、马价各几何?
荅曰:马价五千四百五十四钱、一十一分钱之六,牛价一千八百一十八钱、一十一分钱之二。
术曰:如方程,损益之。
〔一二〕今有武马一匹,中马二匹,下马三匹,皆载四十石至阪,皆不能上。武马借中马一匹,中马借下马一匹,下马借武马一匹,乃皆上。问武、中、下马一匹各力引几何?
荅曰:
武马一匹力引二十二石、七分石之六,
中马一匹力引十七石、七分石之一,下马一匹力引五石、七分石之五。
术曰:如方程各置所借,以正负术入之。
〔一三〕今有五家共井,甲二綆不足,如乙一綆;乙三綆不足,如丙一綆;丙四綆不足,如丁一綆;丁五綆不足,如戊一綆;戊六綆不足,如甲一綆。如各得所不足一綆,皆逮。问井深、綆长各几何?
荅曰:井深七丈二尺一寸。
甲綆长二丈六尺五寸,
乙綆长一丈九尺一寸,
丙綆长一丈四尺八寸,
丁綆长一丈二尺九寸,
戊綆长七尺六寸。
术曰:如方程,以正负术入之。
〔一四〕今有白禾二步、青禾三步、黄禾四步、黑禾五步,实各不满斗。白取青、黄,青取黄、黑,黄取黑、白,黑取白、青,各一步,而实满斗。问白、青、黄、黑禾实一步各几何?
荅曰:
白禾一步实一百一十一分斗之三十三,
青禾一步实一百一十一分斗之二十八,
黄禾一步实一百一十一分斗之一十七,
黑禾一步实一百一十一分斗之一十。
术曰:如方程,各置所取,以正负术入之。
〔一五〕今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉,重皆过於石。甲二重如乙一,乙三重如丙一,丙四重如甲一。问甲、乙、丙禾一秉各重几何?荅曰:
甲禾一秉重二十三分石之十七,乙禾一秉重二十三分石之十一,
丙禾一秉重二十三分石之十。
术曰:如方程,置重过於石之物为负。以正负术入之。
〔一六〕今有令一人、吏五人、从者一十人,食鸡一十;令一十人、吏一人、从者五人,食鸡八;令五人、吏一十人、从者一人,食鸡六。问令、吏、从者食鸡各几何?
荅曰:
令一人食一百二十二分鸡之四十五,
吏一人食一百二十二分鸡之四十一,
从者一人食一百二十二分鸡之九十七。术曰:如方程,以正负术入之。
〔一七〕今有五羊、四犬、三鸡、二兔,直钱一千四百九十六;四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七十五;三羊、一犬、七鸡、五兔,直钱九百五十八;二羊、三犬、五鸡、一兔,直钱八百六十一。问羊、犬、鸡、兔价各几何?
荅曰:
羊价一百七十七,
犬价一百二十一,
鸡价二十三,
兔价二十九。
术曰:如方程,以正负术入之。
〔一八〕今有麻九斗、麦七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗,直钱一百四十;麻七斗、麦六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗,直钱一百二十八;麻三斗、麦五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗,直钱一百一十六;麻二斗、麦五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗,直钱一百一十二;麻一斗、麦三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗,直钱九十五。问一斗直几何?
荅曰:
麻一斗七钱,
麦一斗四钱,
菽一斗三钱,
荅一斗五钱,
黍一斗六钱。
术曰:如方程,以正负术入之。

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